Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
c) Với mỗi bài toán những cách vẽ hình phụ khác nhau thì cách chứng minh
cũng khác nhau. Có khi cùng một đờng phụ nhng cách vẽ cũng khác nhau. Trong quá
trình nghiên cứu đề tài này các chú ý trên luân luân tồn tại.
4. Một số loại đờng phụ thờng vẽ nh sau.
a) Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc.
b) Vẽ một đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ một điểm cho tr-
ớc.
c) Từ một điểm cho trớc vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc.
d) Nối hai điểm cho trớc hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho tr-
ớc.
e) Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc.
g) Dựng một góc bằng một góc cho trớc hay bằng nửa góc cho trớc.
h) Vẽ tiếp tuyến với một đờng tròn cho trớc từ một điểm cho trớc.
i) Vẽ tiếp tuyến chung , dây chung hoặc đờng nối tâm khi có hai đờng tròn
giao nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau.
Trên đây là những cơ sở lí luận khoa học mà tôi sử dụng để nghiên cứu và viết
đề tài này và chắc chắn rằng nếu không có những cơ sở lí luận khoa học tối thiểu trên
thì không thể vẽ đợc hình phụ phục vụ cho giải toán hình học.
II. Đối tợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu, xây dựng đề tài này là:
1. Về con ngời: Là những giáo viên giỏi ,giáo viên lâu năm trong nghề có kinh
nghiệm để học hỏi, trao đổi vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên cứu.
-Giáo viên mới ra nghề dạy toán để đề xuất câu hỏi : Tại sao vẽ thêm hình
phụ nh thế trong chứng minh một bài toán hình học
-Là học sinh trung bình và khá giỏi môn toán lớp 8 ,9 trờng THCS Hơng Canh,
trờng THCS Lí Tự Trọng để khảo sát ban đầu và dạy thử nghiệm đề tài.
2. Về kiến thức : Vì thời gian có hạn năng lực có hạn chế nên đối tợng về kiến
thức tôi chọn ở đây chỉ là các định lí và các bài toán hình học nói về đẳng thức dạng
xy = ab + cd, xy = ab cd và những dạng tơng tự mà vế phải là một tổng. .Nghiên
cứu chủ yếu cách vẽ hình phụ để nhằm xuất hiện các cặp tam giác đồng dạng để rút
ra các đẳng thức ( hoặc tỉ lệ thức ) phục vụ cho kết luận của bài toán.
III. Nội dung phơng pháp nghiên cứu:
*Về phơng pháp nghiên cứu:
-Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh đẳng thức hình học
của giáo viên trờng THCS.
-Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dỡng học sinh đại trà lớp 8, bồi dỡng HSG
phần tam giác đồng dạng và dạy học sinh lớp 9 trong những năm trớc đây thấy học
sinh rất ít em phát hiện đợc hình phụ để chứng minh với những bài toán cần phải vẻ
GV: Nguyễn Hữu Tài THCS (í Tự Trọng
5
a
b m c
Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
thêm hình phụ, chỉ có 1, 2 em là giải quyết đợc; nhng hỏi vì sao lại vẽ nh thế thì học
sinh này trả lời không đợc rõ ràng,cha ngắn gọn.
-Bằng đọc tài liệu để nắm đợc những cơ sở lí luận khoa học về phơng pháp vẽ
hình phụ nh trên. Đặc biệt tìm cách giải đáp cho câu hỏi vì sao lại vẻ hình phụ nh
vậy trong các bài giải có vẽ thêm hình phụ trong các tài liệu.
-Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là thầy cô dạy
giỏi toán trong huyện.
- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp , các buổi
ôn tập đại trà, bồi dỡng HSG, luyện thi vào THPT.
- Bằng phơng pháp tơng tự hoá và tổng quát hoá để nêu lên các bớc vẽ hình
phụ và chứng minh.
- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản đến các định lí và bài toán
khó hơn , phức tạp hơn .
Từ các phơng pháp trên đây đối chiếu với lí luận và thực tế rút ra kinh nghiệm
nhỏ trong quá trình hớng dẫn học sinh giải toán bởi nội dung cụ thể nh sau:
* Nội dung nghiên cứu :
1. Ngay từ lớp 6 học sinh đã đợc biết : Nếu điểm M nằm giữa A và B thì
AB = AM + MB . Vậy để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn thẳng
khác : AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia đoạn AB thành hai đoạn bởi điểm M sao
cho AM = CD, công việc còn lại là chứng minh MB = EF .
2 . Lớp 7 đã đợc tiếp cận định lý Pytago (công nhận và vận dụng), đến lớp 8
khi học xong tam giác đồng dạng, một vấn đề đặt ra là có thể chứng minh định lí Py-
ta-go đợc không? và làm nh thế nào?
Sử dụng ý tởng trên với đẳng thức BC
2
= AB
2
+ AC
2
(ở đây AB, BC, CA là ba
cạnh ABC vuông ở A)
Vế phải của hệ thức cần chứng minh là một tổng,
vậy vế trái có thể viết thành tổng bởi điểm M
trên đoạn BC nh thế nào?
Ta có : BC
2
= AB
2
+AC
2
BC. BC = AB
2
+AC
2
(BM+MC).BC = AB
2
+AC
2
( M [BC] )
MB.BC+MC.BC=AB
2
+AC
2
=
==
tu)(tuong ACMC.BC
BC
AB
ABMB.BC
2
2
BACBMA
AB
MB
Suy ra
o
BMA 90
=
.
GV: Nguyễn Hữu Tài THCS (í Tự Trọng
6
a
b
c
d
m
o
Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Vậy điểm M đợc xác định. Tóm lại, chứng minh định lí Pytago ta đã lấy điểm
M thuộc cạnh BC sao cho BM.BC=AB
2
BC
AB
AB
BM
=
, suy ra BMA và BAC đồng
dạng nên
90
=
AMB
o
Từ đó M là chân đờng cao hạ từ A xuống BC.
- Hoàn chỉnh chứng minh định lí Pytago nh sau :
Hạ AM BC, vì các góc B ,C đều nhọn nên M thuộc đoạn BC. Ta có:
BMA đồng dạng BAC (g g)
BC
AB
AB
BM
=
AB
2
= BM. BC (1)
Tơng tự CMA đồng dạng CAB (g.g) AC
2
= CM.BC (2)
Cộng theo từng vế các hệ thức (1) và (2) đợc :
AB
2
+AC
2
=BC.(BM+CM)=BC
2
- Vậy ý tởng đầu tiên đợc sử dụng để vẽ hình phụ chứng minh đẳng thức dạng
x
2
= a
2
+b
2
.
3. Tiếp tục ta xét tới việc chứng minh định lí Ptôlêmê:
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O. Chứng minh rằng:
AC.BD=AB.CD+AD.BC
-Tách vế trái thành tổng bằng việc lấy điểm M thuộc cạnh AC (Hoặc M thuộc
cạnh BD)
Giả sử M thuộc cạnh AC
sao cho AM.BD=AB.CD
BD
AB
CD
AM
=
, mà
CDBCAB
=
do đó hai tam giác ABM và DBC
đồng dạng, nên suy ra
.
CBDMBA
=
Vậy điểm M đợc xác định là :
M[ AC ] và
CBDMBA
=
.
- Vậy ta trình bày chứng minh định lí Ptôlêmê nh sau :
Vì
ABCDBC
<
nên trong đoạn AC tồn tại điểm M sao cho
CBDMBA
=
+ Vậy trên đoạn AC lấy điểm M sao cho
DBCMBA
=
.
Kết hợp với
CDBMAB
=
( góc nội tiếp cùng chắn cung BC )
suy ra ABM đồng dạng DBC (theo trờng hợp thứ ba: g.g ).
Suy ra
CD
AM
BD
AB
=
AM.BD=AB.CD (1)
+ Mặt khác dễ chứng minh đợc
ADBMCB
=
và
ABDMBC
=
nên BMC đồng
dạng BAD (theo trờng hợp thứ ba: g.g). Suy ra:
BD
BC
AD
MC
=
GV: Nguyễn Hữu Tài THCS (í Tự Trọng
7
a b
cd
m
Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
MC.BD=AD.BC (2).
Cộng vế theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta đợc:
AB.CD+AD.BC=AC.BD
- Chú ý : Với đối tợng học sinh lớp 8 định lí trên có thể phát biểu dới dạng đặc biệt
hoá nh sau:
Cho hình thang cân đáy nhỏ AD, đ ờng chéo AC và BD.
Chứng minh rằng:
AC
2
=AD.BC+AB.CD.
Với bài toán trên , việc xác định
điểm M để vẽ hình phụ tơng tự
nh trên ( Hình vẽ bên) vì AC = BD
(T/c hình thang cân) nên có đpcm.
4. Nh vậy, ý tởng đầu tiên cũng đợc sử dụng để chứng minh đẳng thức
dạng xy = ab+cd và các trờng hợp riêng qua các bớc nh sau:
a) Chia đoạn thẳng độ dài x thành hai đoạn thẳng bởi điểm chia trong M
để có x = x
1
+x
2
sao cho x
1
y = ab (1) để phân tích tìm ra đợc một cặp tam giác đồng
dạng.
b) Tìm cách chứng minh hệ thức x
2
.y = cd (2)
c) Cộng từng vế của (1) và (2) để đợc chiều phải chứng minh.
*Chú ý:
1) ở bớc a) cũng có thể chia đoạn dài x bởi điểm chia ngoài M với dạng
toán chứng minh đẳng thức x.y = ab cd hoặc với một số bài toán cụ thể dẫn tới
cách chứng minh khác.
2) ở hai bớc sau có bài có thể chứng minh đẳng thức khác để phù hợp với
giả thiết của bài toán hoặc phù hợp với điểm chia ngoài đoạn thẳng độ dài x. Vậy
bớc cuối có thể thay thế vào hệ thức đã chứng minh đợc ở trên.
3) cũng có thể xác định điểm M từ việc xác định điểm N thoả mãn điều kiện
nào đó để sử dụng đợc giả thiết của đề bài.
GV: Nguyễn Hữu Tài THCS (í Tự Trọng
8
d
a b
f
m
c
e
Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Vài ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho hình bình hành ABCD ( AC<BD ). Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của
B lên các đờng thằng DA và DC. Chứng minh rằng:
BD
2
=AD.DE+DC.DF.
a) Phân tích tìm hình phụ:
Giả sử lấy điểm M thuộc
đoạn BD sao cho
DM.DB=DA.DE
DB
DA
DE
DM
=
,
kết hợp với góc D chung
để suy ra MDA và EDB đồng dạng,
vì
=
E
90
0
nên
M
=90
0
hay AM DB.
Do đó điềm M cần tìm là hình chiếu của A lên DB.
b) Bài giải ( hình trên)
Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BD cắt BD tại M, do AC < BD nên các
góc ADB và ABD đều nhọn nên M nằm giữa D và B , do đó BD = DM+MB
- Dễ chứng minh đợc DAM và DBE đồng dạng (g.g), suy ra
DB
DA
DE
DM
=
DM.DB = DA.DE (1)
-Lại có DBF và BAM đồng dạng (vì
F
=
M
=90
0
và B
D
F=A
B
M (so le trong)).
Suy ra
DB
AB
DF
BM
=
BM.AB = AB.DF (2)
- Cộng vế theo vế hệ thức (1) và (2) ta đợc:
DB
2
= DA.DE+DC.DF
GV: Nguyễn Hữu Tài THCS (í Tự Trọng
9
Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC, đờng phân giác AD.
Chứng minh rằng AD
2
= AB.AC DB.DC.
a) Phân tích tìm hình phụ:
Giả sử điểm M thuộc đờng thẳng AD
sao cho AD.AM=DB.DC, suy ra
MD
CD
BD
AD
=
tỉ lệ thức này gợi cho ta đến góc đỉnh D
của hai tam giác ADB và CDM
bằng nhau ở vị trí đối đỉnh.
Do đó M là giao điểm của tia Cx với tia AD
sao cho góc DCx bằng góc BAD
(tia Cx khác phía với A đối với BC).
b) Bài giải:
Kẻ tia Cx sao cho
DABxCD
=
(tia Cx khác phía với A đối với BC), gọi giao
điể của tia Cx với tia AD là M.
+ Xét tam giác ABD và tam giác AMD, ta có:
DCMDAB
=
(cách vẽ)
CDMADB
=
(đối đỉnh)
Do đó
ABD
và
CMD
đồng dạng (g.g), suy ra
MB
=
,
MD
CD
BD
AD
=
,
từ đó AD.DM = DB.DC (1)
+ Xét tam giác ABD và tam giác AMC, ta có:
CAMDAB
=
(theo giả thiết)
MB
=
(chứng minh trên)
Do đó
ABD
và
AMC
đồng dạng (g.g), suy ra
AC
AD
AM
AB
=
, từ đó
từ đó AD.AM = AC.AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD.AM AD.DM = DB.DC AC.AB
=> AD(AM DM) = DB.DC AC.AB
=> AD
2
= AB.AC DB.DC.
GV: Nguyễn Hữu Tài THCS (í Tự Trọng
10
a
b d
M
c
x
a
b
c
d
h
k
i
n
m
o
Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Ví dụ 3 (Ví dụ làm sáng tỏ thêm chú ý 3):
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn . D là một điểm trên cung BC
không chứa A . Gọi I , K và H lần lợt là hình chiếu của D trên các đờng thẳng BC
AB và AC .
Chứng minh rằng :
DH
AC
DK
AB
DI
BC
+=
.
a) Phân tích tìm hình phụ :
Giả sử điểm M thuộc cạnh BC
sao cho
DK
AB
DI
BM
=
, kết hợp
với
KDIMBA
=
(cùng bù với góc IBM ),
suy ra DKI và BAM đồng dạng
B
A
M = D
K
I nhng
IBDIKD
=
( Do
tứ giác DIBK nội tiếp )
IBDMAB
=
sđCD = sđBN (N là giao điểm khác A
của AM với đờng tròn )
DN// BC. Vậy ta xác định đợc điểm N và từ đó có điểm M
b) Bài giải:
- Qua D kẻ đờng thăng song song với BC, đờng thẳng này cắt đờng tròn tại điểm
thứ hai là N ( N có thể trùng với D). AN cắt BC tại N.
Ta có
=
=
)
(
)(
CBDdosobangcungMABIKD
KBIgocvoibucungMBAIDK
Suy ra DKI và BAM đồng dạng (theo trờng hợp thứ ba: g-g)
DK
AB
DI
BM
=
(1)
Mặt khác ta thấy : Tứ giác DIHC nội tiếp
suy ra
ACMHDI
=
và
MACDHI
=
)
( NACNBCDCIDHI
===
Do đó ACM và HDI đồng dạng (theo trờng hợp thứ ba: g.g )
DH
AC
DI
CM
=
(2)
- Cộng hai vế của (1) và (2) ta đợc :
DH
AC
DK
AB
DI
BC
+=
GV: Nguyễn Hữu Tài THCS (í Tự Trọng
11
a
d
d
n
m
b
c
d
c
b
Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
* Với trờng hợp này cũng có thể đa ra ví dụ đơn giản hơn cho học sinh lớp 8,
chẳng hạn ví dụ sau:
Ví dụ 4:
Cho hìng bình hành ABCD ,kẻ một đờng thẳng d tuỳ ý, d cắt AB, AC, AD
theo thứ tự tại B ,C ,D .
Chứng minh :
'''
'
AD
AD
AB
AB
AC
AC
+=
.
a) Phân tích tìm hình phụ:
- Giả sử điểm M thuộc cạnh AC sao cho
'' AB
AB
AC
AM
=
Suy ra ACM và ABC đồng dạng
=>
''
CBAMBA
=
mà hai góc này
có vị trí đồng vị nên suy ra BM // BC.
Vậy điểm M đợc xác định
- Tơng tự ta xác định đợc điểm N là
giao điểm của đờng thẳng qua D song
song với CD và AC.
b) Bài giải :
- Qua B và D kẻ các đờng thẳng song song với đờng thẳng d cắt AC lần lợt tại M và
N. Ta chứng minh đợc : ABM và ABC đồng dạng suy ra:
'' AB
AB
AC
AM
=
(1)
Tơng tự ta chứng minh đợc :
'' AD
AD
AC
AN
=
(2).
- Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta đợc:
'''
'
AD
AD
AB
AB
AC
AC
+=
GV: Nguyễn Hữu Tài THCS (í Tự Trọng
12
c
a bM
Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Ví dụ 5 (Ví dụ minh hoạ thêm cho chú ý 2):
Cho tam giác ABC ,biết rằng
0
180
2
3
=+
BA
chứng minh rằng :
AB
2
= BC
2
+ AB.AC.
a) Phân tích tìm hình phụ:
Giả sử điểm M thuộc cạnh AB
sao cho BM.AB = BC
2
.
Suy ra
AB
BC
BC
BM
=
để suy ra
BMC và BCA đồng dạng
=>
CABMCB
=
,kết hợp với
0
180
2
3
=+
BA
(g.t)
và
0
180
=++
BCABA
(định lí tổng 3 góc của 1 tam giác)
ta suy ra đợc
CMAMCA
=
hay tam giác ACM cân với đáy CM .
Vậy điểm M đợc xác định là: M[AB] và AC = AM .
b) Bài giải:
-Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = AC => ACM cân đáy CM.
Từ giả thiết suy ra
BAC
2
+=
từ đây suy ra:
BABABCBACBAAMCA
)
2
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
)
180(
2
1
0
+=++=+=++==
và do đó:
CMABCAMCABCAMCB
==
(
CMAMCA
=
vì ACM cân đáy CM)
BMCBMCBMCAMCB
+=
(Do
MCBMCABCA
+=
và
BMCBCMA
+=
=
BBA
+
(
BAMCA
+=
chứng minh trên)
A
=
.
- Xét hai tam giác BCM và BAC có góc B chung và
CABMCB
=
(chứng
minh trên) nên chúng đồng dạng .
Suy ra
AB
BC
BC
BM
=
=> BM.AB = BC
2
(1).
Mặt khác từ
BAC
2
+=
=>
BC
>
=> AB >AC hay AB > AM
do đó => BM = AB AM hay BM = AB AC (2)
Thay (2) vào (1) ta đợc :
(AB-AC).BC =BC
2
=> AB
2
= BC
2
+ AB.AC .
Ví dụ 6 (Ví dụ minh hoạ thêm cho ví dụ 1):
GV: Nguyễn Hữu Tài THCS (í Tự Trọng
13
A
B
d
c
m
o
Sáng kiến kinh nghiệm - Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng.
Cho tam giác ABC ,kẻ đờng phân giác trong của góc A là AD .(D
BC).
Chứng minh rằng: AD
2
= AB.AC BD.DC.
a)Phân tích và vẽ hình phụ:
Giả sử trên tia AD lấy điểm M sao cho
AD.AM = AB.AC
AM
AC
AB
AD
=
suy ra ADC và ABM đồng dạng
suy ra
BMADCA
=
hay
BMABCA
=
mà C và M cùng thuộc một nửa mặt
phẳng bờ chứa đoạn AB nên suy ra tứ
giác ABMC nội tiếp.
Vậy điểm M đợc xác định là giao
điểm của tia phân giac AD và đờng
tròn ngoại tiếp ABC.
b) Bài giải :
Dựng đờng tròn ngoại tiếp ABC ,gọi giao điểm của tia phân giác AD với đ-
ờng tròn này là M suy ra D nằm giữa A và M, do đó AM = AD + DM
Để chứng minh đợc ADC và ABM đòng dạng ( theo trờng hợp thứ ba: g.g)
=>
AM
AC
AB
AD
=
=> AD.AM = AB.AC.
=> AD (AD+DM) = AB.AC.
=> AD
2
+ AD.DM = AB.AC
=> AD
2
= AB.AC AD.DM (1)
Mặt khác ta cũng chứng minh đợc ADC và BDM đồnd dạng (theo trờng
hợp thứ ba: g.g) =>
DM
DC
BD
AD
=
=> AD.DM = BD.DC (2).
Thay (2) vào (1) ta đợc điều phải chứng minh.
* Đối với một bài toán cụ thể cũng có thể có cách vẽ hình phụ khác nhau.
Chẳng hạn nh ví dụ sau:
Ví dụ 7:
Cho tam giác ABC có
CA
2
=
GV: Nguyễn Hữu Tài THCS (í Tự Trọng
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét