bất đẳng thức

Đ Bất Đẳng thức


Gồm ba phần
Nội Dung bài
phần I - Số thực dương , âm
phần iI - Bất Đẳng thức
phần iI - các tính chất cơ bản của Bất Đẳng thức


I- Số thực dương , âm
1- Cho x bất kỳ, xR , x chỉ có thể
x > 0
x < 0
x = 0
x dương
x = 0
x âm
x không âm x 0
x không dương
x 0
Phủ định mệnh đề x > 0 Là mệnh đề x 0
Phủ định mệnh đề x < 0 Là mệnh đề x 0
2- Nếu x
1
> 0 và x
2
> 0 thì x
1


+ x
2
> 0
và x
1
x
2
> 0


II- Bất đẳng thức
Định nghĩa 1
a > b

a- b > 0
a b

a- b 0
Định nghĩa 2
Các mệnh đề : a > b , a < b , a b , a b
gọi là bất đẳng thức
a gọi là vế trái b gọi là vế phải
a > b và c > d
a > b và c < d
gọi là 2 bất đẳng thức cùng chiều
gọi là 2 bất đẳng thức trái chiều
a > b c > d là hệ quả của a > b

c > d
a > b

c > d c > d và a > b tương đương


Phần III Các tính chất cơ bản của
bất đẳng thức
1.Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
với các số thực bất kỳ
2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
với các số thực dương
3. Một số chú ý


Tính chất với các số a b c d bất kỳ (Xét bất đẳng thức
a > b
a > b còn các bất đẳng thức khác tương tự )
1.Bắc cầu
1.Bắc cầu
a > b
a > b


b > c
b > c
a > c
2. Cộng vào hai vế với cùng 1số
2. Cộng vào hai vế với cùng 1số
3. Cộng hai vế với 1 bất đẳng thức cùng chiều
3. Cộng hai vế với 1 bất đẳng thức cùng chiều
a > b
a + c > b + c


a > b
a > b


c > d
c > d
a + c > b + d

Hệ quả : Chuyển vế đổi dấu
a > b +c
a > b +c


a - c > b
a - c > b

4.Nhân hai vế của 1 bất đẳng thức với 1 số
4.Nhân hai vế của 1 bất đẳng thức với 1 số
a > b

ac > bc nếu c > 0
ac < bc nếu c < 0


Tính chất với các số a b c d bất kỳ
1.Bắc cầu
1.Bắc cầu
a > b
a > b


b > c
b > c
a > c
2. Cộng vào hai vế với cùng 1số
2. Cộng vào hai vế với cùng 1số
3. Cộng hai vế với 1 bất đẳng thức cùng chiều
3. Cộng hai vế với 1 bất đẳng thức cùng chiều
a > b
a + c > b + c


a > b
a > b


c > d
c > d
a + c > b + d

Hệ quả : Chuyển vế đổi dấu
a > b +c
a > b +c


a - c > b
a - c > b

4.Nhân hai vế của 1 bất đẳng thức với 1 số
4.Nhân hai vế của 1 bất đẳng thức với 1 số
a > b

ac > bc nếu c > 0
ac < bc nếu c < 0


Tính chất với các số a , b , c , d > 0
a > b > 0
a > b > 0
a


n
n
>
> b
n ,
n ,
n
n
nguyên dương
nguyên dương
5.Nhân hai vế tương ứng của bất đẳng thức cùng chiều


a > b > 0
a > b > 0


c > d > 0
c > d > 0
ac > bd
6. Nâng lên cùng một luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức


7.Khai căn hai vế của bất đẳng thức


Hệ quả kết hợp (6)và( 7) ( Với n=2 )


a > b > 0
a > b > 0
>




n
n
nguyên dương
nguyên dương
n
a
n
b
a b 0
a
2



b
2
2


Chứng minh

Tính chất 4

a > b
ac > bc nếu c > 0
ac < bc nếu c < 0
. c > 0
ac - bc > 0
a > b

a - b


ac > bc . Đpcm
. c < 0

a > b

a- b > 0
(a - b) c < 0


ac < bc . Đpcm
ac - bc < 0
Chứng minh

(a - b)c > 0
> 0


Chứng minh

Tính chất 5
a > b

ac > bc

Theo t/c 1 ( Bắc cầu )
Chứng minh
c > d
Nhân với c > 0 Theo t / c 4
bc > bd
Nhân với b > 0 Theo t / c 4
ac > bd . Đpcm



a > b > 0
c > d > 0
ac > bd

Xem chi tiết: bất đẳng thức