Sử dụng phép suy luận suy diễn để chứng minh hình học

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Sử dụng phép suy luận suy diễn để chứng minh hình học": http://123doc.vn/document/545427-su-dung-phep-suy-luan-suy-dien-de-chung-minh-hinh-hoc.htm

PHềNG GIO DC KIM SN
TRNG THCS CN THOI
T T NHIấN
=================
BI TP NGHIấN CU KHOA HC
PHNG PHP
SUY LUN PHN TCH
CHNG MINH HèNH HC
TRNG THCS
Ngi thc hin: Nguyn c Hi
- Giỏo viờn trng THCS Cn Thoi
Giỏo viờn hng dn: Thc s NGUYN VN H
- Ging viờn trng HSP H Ni II
Kim Sơn, tháng 05 năm 2009
Phơng pháp suy luận phân tích
Lời cảm ơn
Để hoàn thành đề tài này, chúng tôi đã nhận đợc
sự hớng dẫn, giúp đỡ rất nhiều của các thày cô giáo
trong khoa Toán trờng ĐHSP Hà Nội 2, trờng Đại
học Hoa L, trờng THCS Cồn Thoi - Kim Sơn Ninh
Bình cùng bạn bè đồng nghiệp. Đặc biệt là Ths
Nguyễn Văn Hà - Ngời đã hớng dẫn chúng tôi thực
hiện đề tài này.
Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi không
tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong đợc sự
đóng góp ý kiến của các thày cô giáo và bạn bè đồng
nghiệp để đề tài này đợc hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.
Ninh Bình, tháng 4 năm
2009
Ngời thực hiện
Nguyễn Đức
Hải
Trờng THCS Cồn Thoi 2 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
Phơng pháp suy luận phân tích
Mục lục
1. Phần mở đầu
2. Phần nội dung
Chơng I. Cơ sở lí luận
Chơng II. Chứng minh iifnh học
Chơng III. Bài tập
3. Phần kết luận
Trờng THCS Cồn Thoi 3 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
Phần mở đầu
1) Lí do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy các môn nói chung và môn hình học nói
riêng thì việc tìm ra lời giải một bài toán đối với học sinh là tơng đối khó
khăn và thờng là không có hệ thống và phơng pháp cụ thể, nhất là những
bài toán chứng minh hình học. Học sinh đọc sách giáo khoa và sách bài tập
thì dễ hiểu nhng để làm đợc bài thì lại gặp khó khăn.
Bởi vì những chứng minh đó đợc lập luận chặt chẽ hợp lôgic nhẹ
nhàng dẫn đến một hệ quả tất yếu. Nhng làm sao biết đợc cái trật tự lôgic
đó? Làm sao biết đợc phải bắt đầu từ chỗ nào? Phải làm gì trớc, làm gì sau?

Một trong những phơng pháp để tìm đợc lời giải là phơng pháp suy
luận phân tích, là phơng pháp đơn giản, dễ thực hiện và liên kết đợc điều
phải chứng minh với những giả thiết và những điều đã biết.
2) Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tợng nghiên cứu: phơng pháp suy luận phân tích.
- Phạm vi nghiên cứu: Dùng phơng pháp suy luận phân tích để tìm và giải
bài toán chứng minh nói chung và bài tập hình học trong chơng trình THCS
3) ý nghĩa
- Về mặt lí luận, đề tài này sẽ góp phần minh hoạ cho phơng pháp suy
luận phân tích để làm rõ mối liên hệ lôgic giữa điều cần chứng minh với
điều cần có để chứng minh.
- Về mặt ý nghĩa thực tiễn, kết quả nghiên cứu của đề tài này có thể đ-
ợc sử dụng để tổ chức dạy chuyên đề về phơng pháp chứng minh hình học
chơng trình lớp 8
Phơng pháp suy luận phân tích
Phần nội dung
Chơng I. Cơ sở lí luận
I) SUY LUN TON HC
1) Suy lun l gỡ?
Suy lun l quỏ trỡnh suy ngh i t mt hay nhiu mnh cho
trc rỳt ra mnh mi. Mi mnh ó cho trc gi l tin ca
suy lun. Mnh mi c rỳt ra gi l kt lun hay h qu.
Ký hiu: X
1
, X
2
, , X
n


Y
Nu X
1
, X
2,
, X
n


Y l hng ỳng thỡ ta gi kt lun Y l kt lun
logic hay h qu logic
Ký hiu suy lun logic:

1 2 n
X ,X , ,X
Y
2) Suy din
Suy din l suy lun hp logic i t cỏi ỳng chung n kt lun cho
cỏi riờng, t cỏi tng quỏt n cỏi ớt tng quỏt. c trng ca suy din l
vic rỳt ra mnh mi t cỏi mnh ó cú c thc hin theo cỏc qui
tc logic.
- Quy tc kt lun:
X Y,X
Y


- Quy tc kt lun ngc:
X Y,Y
X

- Quy tc bc cu:
X Y,Y Z
X Z


Trờng THCS Cồn Thoi 5 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
Phơng pháp suy luận phân tích
- Quy tc o :
X Y
Y X



- Quy tc hoỏn v tin :
( )
( )
X Y Z
Y X Z


- Quy tc ghộp tin :
( )
X Y Z
X Y Z


3) Suy lun quy np:
Suy lun quy np l phộp suy lun i t cỏi ỳng riờng ti kt lun
chung, t cỏi ớt tng quỏt n cỏi tng quỏt hn. c trng ca suy lun
quy np l khụng cú quy tc chung cho quỏ trỡnh suy lun, m ch trờn
c s nhn xột kim tra rỳt ra kt lun. Do vy kt lun rỳt ra trong
quỏ trỡnh suy lun quy np cú th ỳng cú th sai, cú tớnh c oỏn.

Vd: 4 = 2 + 2

6 = 3 + 3
10 = 7 + 3

Kt lun: Mi s t nhiờn chn ln hn 2 u l tng ca 2 s
nguyờn t.
a) Quy np khụng hon ton :
L phộp suy lun quy np m kt lun chung ch da vo mt s
trng hp c th ó c xet n. Kt lun ca phộp suy lun khụng
hon ton ch cú tớnh cht c oỏn, tc l nú cú th ỳng, cú th sai v
nú cú tỏc dng gi lờn gi thuyt.
S :
A
1 ,
A
2 ,
A
3 ,
A
4 ,
A
5
A
n
l B
Trờng THCS Cồn Thoi 6 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
Phơng pháp suy luận phân tích
A
1 ,
A
2 ,
A
3 ,
A
4 ,
A
5
A
n
l 1 s phn t ca A
Kt lun: Mi phn t ca A l B
b) Phộp tng t:
L phộp suy lun i t mt s thuc tớnh ging nhau ca hai i
tng rỳt ra kt lun v nhng thuc tớnh ging nhau khỏc ca hai i
tng ú. Kt lun ca phộp tng t cú tớnh cht c oỏn, tc l nú cú
th ỳng, cú th sai v nú cú tỏc dng gi lờn gi thuyt.
S : A cú thuc tớnh a, b, c, d
B cú thuc tớnh a, b, c
Kt lun : B cú thuc tớnh d .
c) Phộp khỏi quỏt húa:
L phộp suy lun i t mt i tng sang mt nhúm i tng no
ú cú cha i tng ny. Kt lun ca phộp khỏi quỏt húa cú tớnh cht
c oỏn, tc l nú cú th ỳng, cú th sai v nú cú tỏc dng gi lờn gi
thuyt.
d) Phộp c bit húa:
L phộp suy lun i t tp hp i tng sang tp hp i tng nh
hn cha trong tp hp ban u. Kt lun ca phộp c bit húa núi
chung l ỳng, tr cỏc trng hp c bit gii hn hay suy bin thỡ kt
lun ca nú cú th ỳng, cú th sai v nú cú tỏc dng gi lờn gi thuyt.
Trong toỏn hc phộp c bit húa cú th xy ra cỏc trng hp c
bit gii hn hay suy bin: im cú th coi l ng trũn cú bỏn kớnh l
0; Tam giỏc cú th coi l t giỏc khi mt cnh cú di bng 0;Tip
tuyn cú th coi l gii hn ca cỏt tuyn ca ng cong khi mt giao
im c nh cũn giao im kia chuyn ng n nú.
Trờng THCS Cồn Thoi 7 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
Phơng pháp suy luận phân tích
II) PHNG PHP CHNG MINH TON HC
1) Phng phỏp chng minh tng hp:
Ni dung: Phng phỏp chng minh tng hp l phng phỏp chng
minh i t iu ó cho trc hoc iu ó bit no ú n iu cn tỡm,
iu cn chng minh.
C s: Quy tc lụgớc kt lun
S : A

B

C



Y

X
Trong ú A l mnh ó bit hoc ó cho trc; B l h qu lụgớc
ca A; C l h qu lụgớc ca B; ; X l h qu lụgớc ca Y.
Vai trũ v ý ngha:
+ Phng phỏp chng minh tng hp d gõy ra khú khn l t
ngt, khụng t nhiờn vỡ mnh chn lm mnh xut phỏt nu l
mnh ỳng no ú thỡ nú ph thuc vo nng lc ca tng hc sinh.
+ Phng phỏp chng minh tng hp ngn gn vỡ thng t
mnh tin ta d suy lun trc tip ra mt h qu logic ca nú.
+ Phng phỏp chng minh tng hp c s dng rng rói
trong trỡnh by chng minh toỏn hc, trong vic dy v hc toỏn trng
ph thụng.
2) Phng phỏp chng minh phõn tớch i lờn:
Ni dung: Phng phỏp chng minh phõn tich i lờn l phng phỏp
chng minh suy din i ngc lờn i t iu cn tỡm, iu cn chng
minh n iu ó cho trc hoc ó bit no ú.
Trờng THCS Cồn Thoi 8 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
Phơng pháp suy luận phân tích
C s: Quy tc lụgớc kt lun.
S : X

Y



B

A
Trong ú: X l mnh cn chng minh; Y l tin lụgớc ca
X ; ; A l tin lụgớc ca B; A l mnh ó bit hoc ó cho
trc;
Vai trũ v ý ngha:
+ Phng phỏp chng minh phõn tớch i lờn t nhiờn, thun tin
vỡ mnh chn lm mnh xut phỏt l mnh cn tỡm, mnh cn
chng minh, hay mnh kt lun.
+ Phng phỏp chng minh phõn tớch i lờn thng rỏt di dũng
vỡ thng t mnh chn l mnh kt lun ta cú th tỡm ra nhiu
mnh khỏc nhau lm tin logic ca nú.
+ Phng phỏp chng minh phõn tớch i lờn c s dng rng
rói trong phõn tớch tỡm ra ng li chng minh toỏn hc, trong vic dy
v hc toỏn trng ph thụng.
Vớ d: Bi toỏn
Hai vũi nc cựng chy vo mt b khụng cha nc sau 12 gi
thỡ y b. Bit rng lng nc mi gi chy vo b ca vũi 1 gp 1, 5
ln lng nc ca vũi 2 chy vo b. Hi sau mi vũi chy mt mỡnh
trong bao lõu s y b?
3) Phng phỏp chng minh phõn tớch i xung :
Ni dung: Phng phỏp chng minh phõn tich i xung l phng
phỏp chng minh suy din i t iu cn tỡm n iu ó bit no ú.
C s: Quy tc lụgớc kt lun.
S : X

Y

B

A
Trờng THCS Cồn Thoi 9 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
Phơng pháp suy luận phân tích
Trong ú: X l mnh cn tỡm, mnh cn chng minh;
Y l h qu lụgớc ca X ; ; A l h qu lụgớc ca B v
A l mnh ó bit no ú. Nu A sai thỡ X sai. Nu A
ỳng thỡ X cú th ỳng cú th sai. Lỳc ny chỳng ta phi dựng
phng phỏp tng hp i t A ti X.
Nguyn c
Hi
Trờng THCS Cồn Thoi 10 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
Phơng pháp suy luận phân tích
Chơng II. Chứng minh hình học
1) Ví dụ mở đầu
Cho tam giác ABC (ac<ab). Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE =
AB. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, cắt BE tại H. Chứng minh:
a) BD = DE
b) BE AD
GT
AC < AB
AE = AB
à à
1 2
A A=
KL
BD = BE
BE AD
Giải:
Phân tích Chứng minh
a) cm BD = DE

cm BDA = EDA

Có:
à à
1 2
AB AE (gt)
A A (gt)
AD chung
=


=



Đủ điều kiện (c.g.c)
a) BDA và EDA có:
à à
1 2
AB AE (gt)
A A (gt)
AD chung
=


=



BDA = EDA (c.g.c)
BD = DE
b) cm BE AD (
à
H
= 90
0
)

cm
à
H
1
=
à
H
2

cm ABH = AEH

b) ABH và AEH có:
à à
1 2
AB AE (gt)
A A (gt)
AH chung
=


=



ABH = AEH

à
H
1
=
à
H
2

mà
à
H
1
+
à
H
2
= 180
0
Trờng THCS Cồn Thoi 11 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
1
2
2
1
D
H
E
B
C
A
Phơng pháp suy luận phân tích
Có:
à à
1 2
AB AE (gt)
A A (gt)
AH chung
=


=



Đủ điều kiện (c.g.c)
nên
à
H
1
=
à
H
2
= 180
0
: 2 = 90
0
Vậy BE AD
Ta có thể chứng minh BE AD bằng cách chứng minh AD là đờng trung
trực của BE.
2) Bài tập 1
Cho tam giác ABC và trung tuyến BD. Chứng minh rằng nếu M là
trung điểm của BD thì AN cắt BC tại điểm N và CN = 2BN.
GT
AD = CD
BM = DM
KL CN = 2BN
Giải:
Phân tích Chứng minh
Cách 1
cm CN = 2BN
Nếu lấy P là trung điểm của CN thì

cm CP = PN = BN

cm AN // DP
Đúng vì DP là đờng trung bình của tam giác
ACN
Cách 1
Gọi P là trung điểm của CN
DP là đờng tung bình của
tam giác ACN
AN // DP
Tam giác BDP có MN đi qua
trung điểm cạnh BD và song
song với cạnh DP nên đi qua
trung điểm của BP.
Trờng THCS Cồn Thoi 12 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
P
N
M
D
A
B
C
Phơng pháp suy luận phân tích
BN = PN = CP
Vậy CN = 2BN
Cách 2
P
E
N
M
D
A
B
C
Hớng dẫn:
- Vẽ BE = AB
- Chứng minh N là trọng tâm
của tam giác ACE
3) Bài tập 2
Cho tam giác ABC. Trên đờng phân giác AD của góc A, lấy một điểm
D bất kì. BD cắt AC tại M, CD cắt AB tại N. Chứng minh rằng nếu BM =
CN thì tam giác ABC cân.
GT
à à
1 2
A A=
D phân giác của
à
A
BM = CN
KL
ABC cân
Giải: Đây là một bài tơng đối khó.
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng: Giả sử

ABC không cân (cụ thể
là AB < AC). Ta sẽ chứng minh BM

CN.
Phân tích Chứng minh
Giả sử AB < AC. Kẻ: Giả sử AB < AC
Trờng THCS Cồn Thoi 13 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
1
2
2
1
2
1
3
2
1
K
E
N
B C
A
D
M
Phơng pháp suy luận phân tích
NE// BM BN ME
ME// AB NE BM
=



=

Ta sẽ chứng minh CN > NE
tức là CN > BM


ã
à à
( )
ã
à à
( )
1 2
2 3
CEN E E ECN C C= + > = +
CM
à
à
1
2
E C>
và
à
à
2
3
E C>
Lấy điểm K trên AB sao cho
AK=AB
K nằm giữa A và C và
ã
AKD
>
à
2
C
a) cm
à
à
1
2
E C>
mà
à
à
1 2
E B=
(cùng bù với
ã
BNE
)

cm
à à
2
2
B C>
Lấy điểm K trên AB sao cho
AK=AB
ABD = AKD (c.g.c) (1)

à
ã
2
B AKD=
cm
ã
à
2
AKD C>
Đúng vì
ã
AKD
là góc ngoài của
CKD
b) Chứng minh
à
à
2
3
E C>
cm: CM > ME
cm: CM > BN

BCM và CBN có BC chung,
BM=CN (gt)

cm
à à
1
1
B C>
CD > BD
mà BD = KD (từ (1))

cm CD > KD
đúng vì
ã
CKD
kề bù với góc nhọn
Xét ABD và AKD có
à à
1 2
AD chung
A A
AK AB


=


=

ABD = AKD (c.g.c)

à
ã
à
2
2
B AKD C= >
(1)
và BD = KD (2)
Trong CKD, góc CKD kề bù với
góc nhọn AKD nên nó là góc tù:
ã
à
2
CKD C>
KD < CD (3)
Từ (2) và (3) suy ra:
BD < CD
à à
1
1
B C>
Hai tam giác BCM và CBN có
à à
1
1
BC chung
AK AB
B C


=


>

nên CM > BN (4)
Kẻ NE//BM và ME//AB cắt nhau tại
E thì ta có: BN = ME (5)
BM = NE (6) và
à
à
1 2
E B=
(7)
Từ (4) và (5) suy ra CM > ME
vậy trong CME có
à
à
2
3
E C>
Từ (1) và (7) suy ra
à
à
1
2
E C>

Trờng THCS Cồn Thoi 14 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải