MU
.
CLU
.
C3
6.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao . . . . . . . . . 244
6.2 D
-
u
.
aphu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at cu
’
ad
u
.
`o
.
ng bˆa
.
c hai v`a m˘a
.
t
bˆa
.
c hai vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 263
L`o
.
i n´oi d
ˆa
`
u
Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa
.
p to´an cao cˆa
´
p n`ay du
.
o
.
.
c biˆen soa
.
n theo Chu
.
o
.
ng
tr`ınh To´an cao cˆa
´
p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho
.
cTu
.
.
nhiˆen cu
’
a
D
a
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
iv`ad˜a d u
.
o
.
.
cD
a
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
i thˆong
qua v`a ban h`anh.
Mu
.
cd
´ıch cu
’
a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o
.
sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho
.
c
Tu
.
.
nhiˆen n˘a
´
mv˜u
.
ng v`a vˆa
.
ndu
.
ng d
u
.
o
.
.
c c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an cao
cˆa
´
p. Mu
.
c tiˆeu n`ay quyˆe
´
td
i
.
nh to`an bˆo
.
cˆa
´
utr´uc cu
’
a gi´ao tr`ınh. Trong
mˆo
˜
imu
.
c, d
ˆa
`
u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a
´
tnh˜u
.
ng co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t
v`a liˆe
.
tkˆenh˜u
.
ng cˆong th´u
.
ccˆa
`
n thiˆe
´
t. Tiˆe
´
pd
´o, trong phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
ch´ung tˆoi quan tˆam d
˘a
.
cbiˆe
.
tt´o
.
iviˆe
.
c gia
’
i c´ac b`ai to´an mˆa
˜
ub˘a
`
ng c´ach
vˆa
.
ndu
.
ng c´ac kiˆe
´
nth´u
.
cl´y thuyˆe
´
td
˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa
`
n B`ai
tˆa
.
p.O
.
’
d
ˆay, c´ac b`ai tˆa
.
pdu
.
o
.
.
cgˆo
.
p th`anh t`u
.
ng nh´om theo t`u
.
ng chu
’
d
ˆe
`
v`a d
u
.
o
.
.
cs˘a
´
pxˆe
´
p theo th´u
.
tu
.
.
t˘ang dˆa
`
nvˆe
`
d
ˆo
.
kh´o v`a mˆo
˜
i nh´om dˆe
`
u
c´o nh˜u
.
ng chı
’
dˆa
˜
nvˆe
`
phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i. Ch´ung tˆoi hy vo
.
ng r˘a
`
ng viˆe
.
c
l`am quen v´o
.
il`o
.
i gia
’
i chi tiˆe
´
t trong phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
s˜e gi´up ngu
.
`o
.
iho
.
c
n˘a
´
md
u
.
o
.
.
c c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an co
.
ba
’
n.
Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa
.
p n`ay c´o thˆe
’
su
.
’
du
.
ng du
.
´o
.
isu
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
ncu
’
a
gi´ao viˆen ho˘a
.
ctu
.
.
m`ınh nghiˆen c´u
.
u v`ı c´ac b`ai tˆa
.
pd
ˆe
`
uc´od´ap sˆo
´
,mˆo
.
t
sˆo
´
c´o chı
’
dˆa
˜
n v`a tru
.
´o
.
c khi gia
’
i c´ac b`ai tˆa
.
pn`ayd
˜a c´o phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
tr`ınh b`ay nh˜u
.
ng chı
’
dˆa
˜
nvˆe
`
m˘a
.
tphu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an.
T´ac gia
’
gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca
’
mo
.
n c´ac thˆa
`
y gi´ao: TS. Lˆe D
`ınh
Ph`ung v`a PGS. TS. Nguyˆe
˜
n Minh Tuˆa
´
nd
˜ado
.
ck˜yba
’
n tha
’
ov`ad´ong
Co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t h`am biˆe
´
nph´u
.
c5
g´op nhiˆe
`
u´ykiˆe
´
n qu´y b´au vˆe
`
cˆa
´
utr´uc v`a nˆo
.
i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac
gia
’
vˆe
`
nh˜u
.
ng thiˆe
´
u s´ot cu
’
aba
’
n tha
’
o gi´ao tr`ınh.
M´o
.
i xuˆa
´
tba
’
nlˆa
`
nd
ˆa
`
u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho
’
i sai s´ot. Ch´ung
tˆoi rˆa
´
t chˆan th`anh mong d
u
.
o
.
.
cba
.
nd
o
.
c vui l`ong chı
’
ba
’
o cho nh˜u
.
ng
thiˆe
´
u s´ot cu
’
a cuˆo
´
n s´ach d
ˆe
’
gi´ao tr`ınh ng`ay du
.
o
.
.
c ho`an thiˆe
.
nho
.
n.
H`a Nˆo
.
i, M`ua thu 2004
T´ac gia
’
Chu
.
o
.
ng 1
Sˆo
´
ph´u
.
c
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 6
1.2 Da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 8
1.3 Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod
un v`a acgumen . 13
1.4 Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac . 23
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c
Mˆo
˜
ic˘a
.
psˆo
´
thu
.
.
c c´o th´u
.
tu
.
.
(a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a mˆo
.
tsˆo
´
ph´u
.
cnˆe
´
u trˆen tˆa
.
pho
.
.
p c´ac c˘a
.
pd
´o quan hˆe
.
b˘a
`
ng nhau, ph´ep cˆo
.
ng v`a
ph´ep nhˆan d
u
.
o
.
.
cd
u
.
a v`ao theo c´ac d
i
.
nh ngh˜ıa sau dˆay:
(I) Quan hˆe
.
b˘a
`
ng nhau
(a
1
,b
1
)=(a
2
,b
2
) ⇐⇒
a
1
= a
2
,
b
1
= b
2
.
(II) Ph´ep cˆo
.
ng
1.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 7
(a
1
,b
1
)+(a
2
,b
2
)
def
=(a
1
+ a
2
,b
1
+ b
2
).
1
(III) Ph´ep nhˆan
(a
1
,b
1
)(a
2
,b
2
)
def
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
,a
1
b
2
+ a
2
b
1
).
Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aC. Ph´ep cˆo
.
ng (II) v`a ph´ep nhˆan
(III) trong C c´o t´ınh chˆa
´
t giao ho´an, kˆe
´
tho
.
.
p, liˆen hˆe
.
v´o
.
i nhau bo
.
’
i
luˆa
.
t phˆan bˆo
´
v`a mo
.
i phˆa
`
ntu
.
’
=(0, 0) d
ˆe
`
u c´o phˆa
`
ntu
.
’
nghi
.
ch d
a
’
o.
Tˆa
.
pho
.
.
p C lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng (go
.
i l`a tru
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c) v´o
.
i phˆa
`
n
tu
.
’
khˆong l`a c˘a
.
p (0; 0) v`a phˆa
`
ntu
.
’
d
o
.
nvi
.
l`a c˘a
.
p (1; 0).
´
Ap du
.
ng quy
t˘a
´
c (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe
´
uk´yhiˆe
.
u i =(0, 1) th`ı
i
2
= −1
Dˆo
´
iv´o
.
i c´ac c˘a
.
pda
.
ng d
˘a
.
cbiˆe
.
t(a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta
c´o
(a, 0) + (b, 0)=(a + b, 0),
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).
T`u
.
d
´ovˆe
`
m˘a
.
tda
.
isˆo
´
c´ac c˘a
.
pda
.
ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe
.
t
v´o
.
isˆo
´
thu
.
.
c R:v`ıch´ung d
u
.
o
.
.
ccˆo
.
ng v`a nhˆan nhu
.
nh˜u
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c. Do
vˆa
.
y ta c´o thˆe
’
d
ˆo
`
ng nhˆa
´
t c´ac c˘a
.
pda
.
ng (a; 0) v´o
.
isˆo
´
thu
.
.
c a:
(a;0)≡ a ∀ a ∈ R.
D
˘a
.
cbiˆe
.
t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.
D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b):
1
+
Sˆo
´
thu
.
.
c a d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phˆa
`
n thu
.
.
c a =Rez,sˆo
´
thu
.
.
c b go
.
i l`a phˆa
`
n
a
’
ov`ak´yhiˆe
.
ul`ab =Imz.
2
+
Sˆo
´
ph´u
.
c
z =(a,−b)go
.
il`asˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
pv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z
1
def. l`a c´ach viˆe
´
tt˘a
´
tcu
’
at`u
.
tiˆe
´
ng Anh definition (di
.
nh ngh˜ıa)
8Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
1.2 Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c
Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =(a; b) ∈ C d
ˆe
`
u c´o thˆe
’
viˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng
z = a + ib. (1.1)
Thˆa
.
tvˆa
.
y, z =(a, b)=(a, 0) + (0,b)=(a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib
Biˆe
’
uth´u
.
c (1.1) go
.
i l`a da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b). T`u
.
(1.1)
v`a d
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p ta c´o
z = a − ib.
Du
.
´o
.
ida
.
ng d
a
.
isˆo
´
c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
c thu
.
.
c
hiˆe
.
n theo c´ac quy t˘a
´
c sau.
Gia
’
su
.
’
z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o
(I) Ph´ep cˆo
.
ng: z
1
± z
2
=(a
1
± a
2
)+i(b
1
± b
2
).
(II) Ph´ep nhˆan: z
1
z
2
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
)+i(a
1
b
2
+ a
2
b
1
).
(III) Ph´ep chia:
z
2
z
1
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
1
+ b
2
1
+ i
a
1
b
2
− a
2
b
1
a
2
1
+ b
2
1
·
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. 1
+
T´ınh i
n
.T`u
.
d
´och´u
.
ng minh r˘a
`
ng
a) i
n
+ i
n+1
+ i
n+2
+ i
n+3
=0;
b) i · i
2
···i
99
· i
100
= −1.
2
+
T`ım sˆo
´
nguyˆen n nˆe
´
u:
a) (1 + i)
n
=(1− i)
n
;
b)
1+i
√
2
n
+
1 − i
√
2
n
=0.
Gia
’
i. 1
+
Ta c´o i
0
=1,i
1
= i, i
2
= −1, i
3
= −i, i
4
=1,i
5
= i v`a
gi´a tri
.
l˜uy th`u
.
ab˘a
´
td
ˆa
`
ul˘a
.
pla
.
i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia
’
su
.
’
n ∈ Z v`a
n =4k + r, r ∈ Z,0 r 3. Khi d
´o
i
n
= i
4k+r
= i
4k
· i
r
=(i
4
)
k
i
r
= i
r
1.2. Da
.
ng d a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 9
(v`ı i
4
= i). T`u
.
d
´o, theo kˆe
´
t qua
’
trˆen ta c´o
i
n
=
1nˆe
´
u n =4k,
i nˆe
´
u n =4k +1,
−1nˆe
´
u n =4k +2,
−i nˆe
´
u n =4k +3.
(1.2)
T`u
.
(1.2) dˆe
˜
d`ang suy ra a) v`a b).
2
+
a) T`u
.
hˆe
.
th´u
.
c(1+i)
n
=(1− i)
n
suy ra
1+i
1 − i
n
=1.
Nhu
.
ng
1+i
1 − i
= i nˆen
1+i
1 − i
n
= i
n
=1⇒ n =4k, k ∈ Z.
b) T`u
.
d
˘a
’
ng th´u
.
c
1+i
√
2
n
+
1 − i
√
2
n
= 0 suy r˘a
`
ng
1+i
1 − i
n
= −1
v`a do d
´o i
n
= −1 ⇒ n =4k +2, k ∈ Z.
V´ı d u
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u n l`a bˆo
.
icu
’
a3th`ı
−1+i
√
3
2
n
+
−1 − i
√
3
2
n
=2
v`a nˆe
´
u n khˆong chia hˆe
´
t cho 3 th`ı
−1+i
√
3
2
n
+
−1 − i
√
3
2
n
= −1.
Gia
’
i. 1
+
Nˆe
´
u n =3m th`ı
S =
−1+i
√
3
2
3
m
+
−1 − i
√
3
2
3
m
=
−1+3i
√
3+9− 3i
√
3
8
m
+
−1 − 3i
√
3+9+3i
√
3
8
m
=1
m
+1
m
=2.
10 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
2
+
Nˆe
´
u n =3m +1th`ı
S =
−1+i
√
3
2
3
m
−1+i
√
3
2
+
−1 − i
√
3
2
3
m
1 − i
√
3
2
=
−1+i
√
3
2
+
−1 − i
√
3
2
= −1.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nˆe
´
u n =3m +2tac˜ung c´o S = −1.
V´ı d u
.
3. T´ınh biˆe
’
uth´u
.
c
σ =
1+
1+i
2
1+
1+i
2
2
1+
1+i
2
2
2
···
1+
1+i
2
2
n
.
Gia
’
i. Nhˆan v`a chia biˆe
’
uth´u
.
cd
˜achov´o
.
i1−
1+i
2
ta c´o
σ =
1 −
1+i
2
2
n
2
1 −
1+i
2
=
1 −
1+i
2
2
n+1
1 −
1+i
2
·
Ta cˆa
`
n t´ınh
1+i
2
2
n+1
=
1+i
2
2
2
n
=
i
2
2
n
=
i
2
n
2
2
n
=
1
2
2
n
·
Do d
´o
σ =
1 −
1
2
2
n
1 −
1+i
2
=
2
1 −
1
2
2
n
1 − i
×
1+i
1+i
=
1 −
1
2
2
n
(1 + i)
V´ı d u
.
4. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c
√
4 − 3i du
.
´o
.
ida
.
ng d
a
.
isˆo
´
.
Gia
’
i. Theo d
i
.
nh ngh˜ıa ta cˆa
`
nt`ımsˆo
´
ph´u
.
c w sao cho w
2
=4− 3i.
Nˆe
´
u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı
4 − 3i =(a + bi)
2
= a
2
− b
2
+2abi.
1.2. Da
.
ng d a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 11
T`u
.
d
´o
a
2
− b
2
=4, (1.3)
2ab = −3. (1.4)
T`u
.
(1.4) ta c´o b = −
3
2a
.Thˆe
´
v`ao (1.3) ta thu d
u
.
o
.
.
c
4u
2
− 16u − 9=0,u= a
2
⇐⇒
u
1
=
8+
√
100
4
=
8+10
4
=
18
4
=
9
2
,
u
2
=
8 −
√
100
4
=
8 − 10
4
= −
1
2
·
V`ı a ∈ R nˆen u 0 ⇒ u =
9
2
v`a do vˆa
.
y
a = ±
3
√
2
⇒ b = ∓
1
√
2
·
T`u
.
d
´o ta thu du
.
o
.
.
c
w
1,2
= ±
3
√
2
−
1
√
2
i
V´ı d u
.
5. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c
z =
√
5+12i −
√
5 − 12i
√
5+12i +
√
5 − 12i
v´o
.
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n l`a c´ac phˆa
`
n thu
.
.
ccu
’
a
√
5+12i v`a
√
5 − 12i dˆe
`
u ˆam.
Gia
’
i.
´
Ap du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i trong v´ıdu
.
4 ta c´o
√
5+12i = x + iy ⇒ 5+12i = x
2
− y
2
− 2xyi
⇐⇒
x
2
− y
2
=5,
2xy =12.
12 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
Hˆe
.
n`ay c´o hai nghiˆe
.
m l`a (3; 2) v`a (−3;−2). Theo diˆe
`
ukiˆe
.
n, phˆa
`
n
thu
.
.
ccu
’
a
√
5+12i ˆam nˆen ta c´o
√
5+12i = −3 − 2i.Tu
.
o
.
ng tu
.
.
ta
t`ım d
u
.
o
.
.
c
√
5 − 12i = −3+2i.Nhu
.
vˆa
.
y
z =
−3 − 2i − (−3+2i)
−3 − 2i +(−3+2i)
=
2
3
i
V´ı d u
.
6. Gia
’
su
.
’
z = a + ib, z = ±1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng w =
z − 1
z +1
l`a
sˆo
´
thuˆa
`
na
’
o khi v`a chı
’
khi a
2
+ b
2
=1.
Gia
’
i. Ta c´o
w =
(a − 1) + ib
(a +1)+ib
=
a
2
+ b
2
− 1
(a +1)
2
+ b
2
+ i
2b
(a +1)
2
+ b
2
·
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng w thuˆa
`
na
’
o khi v`a chı
’
khi
a
2
+ b
2
− 1
(a +1)
2
+ b
2
=0⇐⇒ a
2
+ b
2
=1.
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
T´ınh
1.
(1 + i)
8
− 1
(1 − i)
8
+1
· (D
S.
15
17
)
2.
(1+2i)
3
+(1− 2i)
3
(2 − i)
2
− (2 + i)
2
· (DS. −
11
4
i)
3.
(3 − 4i)(2 − i)
2+i
−
(3+4i)(2 + i)
2 − i
· (D
S. −
14
5
)
4.
1+
1 − i
√
2
1+
1 − i
√
2
2
1+
1 − i
√
2
2
2
···
1+
1 − i
√
2
2
n
.
(D
S. 0)
Chı
’
dˆa
˜
n.
´
Ap du
.
ng c´ach gia
’
iv´ıdu
.
3.
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
a)
z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
;b)z
1
z
2
= z
1
· z
2
;c)
z
1
z
2
=
z
1
z
2
;
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét